Matematika
pro střední školy
Funkce
s využitím programu GeoGebra
Základní operace s funkcemi
Rovnost funkcí
O dvou funkcích říkáme, že jsou si rovny (psáno f=g), právě když mají týž definiční obor D(f)=D(g) a
v každém bodě x tohoto definičního oboru je f(x)=g(x).
Algebraické operace s funkcemi
Nechť průnik definičních oborů funkcí f,g je neprázdná množina.
Součet funkcí f,g - přiřadíme-li každému x ∈ D(f) číslo f(x) + g(x), dostaneme funkci f+g.
Rozdíl funkcí f,g - přiřadíme-li každému x ∈ D(f) číslo f(x) - g(x), dostaneme funkci f-g.
Součin funkcí f,g - přiřadíme-li každému x ∈ D(f) číslo f(x) × g(x), dostaneme funkci f×g.
Podíl funkcí f,g - přiřadíme-li každému x ∈ D(f) číslo f(x) / g(x), dostaneme funkci f/g.
Složená funkce
Funkce je zobrazení, proto je můžeme skládat. Musí být splněny následující podmínky.
Nechť funkce g: u=g(x) má definičí obor D(g), jemuž přísluší obor funkčních hodnot H(g) (neprázdná množina) a nechť funkce f: y=f(u) má definiční obor takový,
že platí H(g) je podmnožinou D(f). Jednodušeji řečeno, tato podmínka nám říká, že pro každé x ∈ D(g) je u=g(x) ∈ D(f).
Pak lze vytvořit funkci h: y=h(x) s defičním oborem D(h)=D(g), jejíž funkční předpis je h(x)=f(g(x)) pro každé x ∈ D(h);funkci h nazýváme funkcí složenou,
kde f je vnější složka a g vnitřní složka. Píšeme h= fog.
Doplnění na čtverec u kvadratických funkcí
"Doplnění na čtverec" využíváme ke zjištění souřadnic vrcholu paraboly. Jak na to?
Mějme např. funkci y= x2-4x+5. Nejdříve se soustředíme na její nekonstantní členy, tzn. x2-4x. Ty chceme napsat pomocí závorky (x±a)2 tak,
aby jsme po zpětném umocnění této závorky opět dostali tyto členy. Zřejmě, pro nás taková závorka bude (x-2)2. Pokud bychom ji podle vzorce umocnili, dostáváme
y= x2-4x+4. Ze členů x2-4x jsme tedy změnou na závorku dostali členy x2-4x+4. Abychom mohli původní dva členy nahradit závorkou,
musíme ještě od závorky odečíst 4 → x2-4x=(x-2)2-4. Pak už se vrátíme k původní rovnici y= x2-4x+5, kde nahradíme výraz x2-4x
výrazem (x-2)2-4. Takže dostaneme funkci y= (x-2)2-4+5=(x-2)2+1.
Z tohoto tvaru funkce už vidíme souřadnice vrcholu paraboly: V[2,1].