Matematika

pro střední školy

• Home
• GeoGebra
• GeoGebra - ovládání
• Odkazy

• Co je to funkce?
  • základní pojmy
  • vlastnosti
  • operace s funkcemi
• Mocninné funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
• Lineární funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
• Kvadratické funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
• Kubické funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
• Lineární lomená funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
• Goniometrické funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
• Exponenciální funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
• Logaritmické funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
• Cyklometrické funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
• Funkce s absolutní hodnotou
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
• Průběh funkce
  • postup při vyšetřování
  • vyšetření průběhu funkce
  • průběh funkce s parametry
• Speciální typy funkcí
  • signum
  • celá část
• Seznam použité literatury

Funkce s absolutní hodnotou

Funkce s absolutní hodnotou nazýváme takové funkce, které ve svém funkčním předpise obsahují absolutní hodnoty výrazů se zvolenou funkční proměnnou (např. x).
Můžeme je rozdělit na funkce, které jsou "celé" v jedné absolutní hodnotě (např. y= ∣x²+2x-4∣) a na ty, které nejsou "celé" v absolutní hodnotě nebo obsahují více absolutních hodnot (např. y= x²+2∣x∣-4 nebo y= 1/2×(∣x+1∣+∣x-1∣).

Graf funkce s absolutní hodnotou

Grafy absolutních hodnot mohou mít různou podobu, pochopitelně vždy se podobají funkcím bez absolutních hodnot, ze kterých vycházejí. Pokud je funkce "celá" v absolutní hodnotě (např. y= ∣x²+2x-4∣), potom stačí sestrojit funkci bez absolutní hodnoty, a protože absolutní hodnota je vždy větší nebo rovna 0, část grafu se zápornými funkčními hodnotami můžeme nahradit částí grafu, která je osově souměrná podle osy x (viz.obr.)
Příklad : Sestrojte graf funkce y= ∣x²-x-2∣.
Řešení :

Složitější funkce s absolutní hodnotou :

Jak ovšem postupovat pokud máme funkce s absolutní hodnotou složitějšího typu - nejsou "celé" v absolutní hodnotě nebo obsahují více absolutních hodnot např. (y=x²-5∣x∣+3)?
Takové funkce je třeba rozložit na jednotlivé intervaly. Najdeme si nulové body u jednotlivých absolutních hodnot, podle těchto bodů zjistíme, jaký tvar mají jednotlivé funkce v těchto intervalech (po odstranění absolutních hodnot).

Příklad: Nalezněte graf funkce y=∣x+1∣-2×∣x+2∣.
Řešení : V absolutních hodnotách jsou výrazy x+1 a x+2, proto nulové body jsou x=-1 a x=-2. Máme tedy 3 různé intervaly: (-∞,-2),(-2,-1) a (-1,∞).
V prvním intervalu (-∞,-2) jsou oba výrazy (x+1 i x+2) záporné (dosazujeme např. x=-3) → funkce v tomto intervalu mění znaménka a bude mít tvar: y= -(x+1)-2×(-x-2)= -x-1+2x+4=x+3.
V intervalu (-2,-1) je výraz x+1 záporný a x+2 kladný (např. x=-1,5) →
y= -(x+1)-2×(x+2)= -x-1-2x-4= -3x-5.
V intervalu (-1,∞) jsou oba výrazy kladné (např. x=0) → y= x+1-2×(x+2)= x+1-2x-4= -x-3.
Z těchto výsledků již vidíme z jakých funkcí se bude graf skládat: v intervalu (-∞,-2) půjde o přímku s rovnicí y= x+3, v intervalu (-2,-1) o přímku y= -3x-5 a v intervalu (-1,∞) o přímku y= -x-3.

Valid XHTML | CSS