Matematika
pro střední školy
Funkce
s využitím programu GeoGebra
Lineární lomenná funkce
Lineární lomené funkce jsou funkce tvaru y=(ax+b)/(cx+d), kde a, b, c, d ∈ R, c≠0, bc-ad≠ 0.
Definičním oborem těchto funkcí je D(f)= R-{-d/c}.
Za uvedených podmínek můžeme takovou funkci napsat ve tvaru y= [k/(x-x0)]+y0,
kde x0=-d/c, y0=a/c, k=(1/c2) × (bc-ad). Tento tvar získáme vydělením výrazů (ax+b) a (cx+d).
Speciálním případem lineární lomené funkce je nepřímá úměrnost y= k/x.
Graf lineární lomenné funkce
Grafem lineární lomenné funkce je křivka zvaná rovnoosá hyperbola se středem (středem souměrnosti) v bodě [x0,y0] a s asymptotami procházejícími tímto bodem, rovnoběžnými se souřadnicovými osami x, y.
Příklad: Sestrojte graf funkce y=(x+5)/(x-1) a vyznačte asymptoty grafu.
Řešení: Grafem funkce y=(x+5)/(x-1) je rovnoosá hyperbola, jejíž větve leží v 1. a 3. kvadrantu (viz. obr.).
Kdybychom rovnici upravili vydělením výrazů, dostali bychom funkci y= 1 + 6/(x-1).
Po úpravě dostaneme
y-1= 6/(x-1). Z této rovnice ihned vidíme souřadnice středu souměrnosti → [1,1] a také rovnice asymptot x=1 a y=1.
Vlastnosti funkce y=(x+5)/(x-1):
- D(f)=R-{1}, H(f)=R-{1}.
- Není lichá, ani sudá.
- Není omezená shora, ani zdola.
- Je klesající v celém svém definičním oboru (R-{1}).
- Nemá maximum, ani minimum.