Matematika
pro střední školy
Funkce
s využitím programu GeoGebra
Goniometrické funkce
Goniometrické funkce známe především jako funkce y= sin(x) (čti sinus x) resp. y= cos(x) (čti kosinus x), které jsou speciálními typy rovnic y= a × sin(bx+c)+d,
resp.
y= a × cos(bx+c)+d.
Pomocí těchto funkcí můžeme vyjádřit další goniometrické funkce: tg(x)= sin(x)/cos(x) (čti tangens x) a cotg(x)= cos(x)/sin(x) (čti kotangens x).
Goniometrické funkce jsou velice důležité, protože se jich využívá v geometrii již na základní škole (sinová věta, kosinová věta,...).
Definiční obory goniometrických funkcí :
y=sin(x) → D(f)= R
y= cos(x) → D(f)= R
y= tg(x) → protože tg(x)= sin(x)/cos(x) → musíme vyloučit taková x, pro která cos(x)= 0 → D(f)= R - {π/2 + k × π}
y= cotg(x) → protože cotg(x)= cos(x)/sin(x) → musíme vyloučit taková x, pro která sin(x)= 0 D(f)= R - {k × π}
Graf goniometrické funkce
Grafem goniometrických funkcí jsou křivky, které odpovídají konkrétní funkci
sinusoida, kosinusoida, tangentoida a kotangentoida.
Protože definiční obory těchto funkcí jsou všechna reálná čísla,
resp. sjednocení nekonečně mnoha otevřených intervalů,
můžeme zobrazovat pouze části grafů těchto funkcí.
Příklad : Sestrojte graf funkce y= sin(x) a y= cos(x).
Řešení :
Jednotková kružnice
Hodnoty goniometrických funkcí můžeme určovat z grafu funkce nebo také z tzv. jednotkové kružnice. Jedná se o kružnici, která má střed v počátku souřadnicové soustavy a její poloměr r=1 (proto jednotková). Její x-ová osa udává hodnoty pro funkci y= cos(x) a y-ová osa pro funkci y= sin(x). Vždy jsou tyto hodnoty vztaženy k určitému úhlu (v apletu značeno α= α1). Posouváním parametru α můžete sledovat, jak se odpovídající hodnoty funkcí y= sin(x) a y= cos(x) mění v závislosti na tomto parametru. Pomocí formulářových tlačítek sin(α) a cos(α) můžete jednu či obě funkce skrýt. Parametr α nabývá hodnot 0°- 360° a skokem je 5°.
Funkce y= sin(x) a y= cos(x)
Vytvořeno programem GeoGebra
Funkce y= tg(x) a y= cotg(x)
Vytvořeno programem GeoGebra