Matematika
pro střední školy
Funkce
s využitím programu GeoGebra
Zadání:
Pro goniometrickou funkci f: y= -2 sin(x)+1 určete:
- f(0), f(π/2), f(π), f(π/3)
- inverzní funkci a její definiční obor D(f) a obor hodnot H(f)
Řešení:
- Chceme určit následující funkční hodnoty funkce y= -2 sin(x)+1: f(0), f(π/2), f(π), f(π/3). Hledáme tedy takové funkční hodnoty, které nám vyjdou
po dosazení za zadané proměnné x:
f(0)= -2 × sin(0) + 1= 0+1= 1
f(π/2)= -2 × sin(π/2) + 1= -2+1= -1
f(π)= -2 × sin(π) + 1= 0+1= 1
f(π/3)= -2 × sin(π/3) + 1= -2 ×(√3/2)+1= -√3+1
- K určení inverzní funkce můžeme použít převod goniometrických funkcí na funkce cyklometrické:
Pokud hledáme inverzní funkci, postupujeme následovně:
Zaměníme proměnné x a y → x= -2 sin(y) +1 a vyjádříme y → x-1= -2 sin(y) →
-(1/2) × (x-1) = sin(y) → y= arcsin(-(1/2) × (x-1)). To je hledaná inverzní funkce.
Ke stanovení definičního oboru a oboru hodnot inverzní funkce nám stačí znát definiční obor a obor hodnot funkce původní (y= -2 sin(x)+1). Jen je třeba si uvědomit, že inverzní funkci můžeme sestrojit pouze k funkci prosté (viz inverzní funkce).
Funkce y= -2 sin(x)+1 je prostá na intervalu <-π/2,π/2> a oborem hodnot je
H(f)= <-1,3>.
Proto má inverzní funkce g: y= arcsin(-(1/2) × (x-1)): D(g)= <-1,3>,
H(g)= <-π/2,π/2>.
