Úvodní strana

Obecná kvadratická rovnice

Obecná kvadratická rovnice má tvar obecna kv. rovnice , kde a,b,c jsou z R a zároveň platí a,b,c ruzne od nuly .

Tento typ kvadratické rovnice lze řešit dvěma způsoby. Jednak pomocí diskriminantu, což je metoda univerzální a lze ji tedy použít vždy. Také ji lze řešit pomocí Viètových vzorců, které vždy použít nelze, ale většinou je jejich užití rychlejší.

Řešení pomocí diskriminantu

Pokud máme rovnici ve tvaru obecna kv. rovnice , pak pro výpočet diskriminantu D platí: vzorec pro vypocet diskriminantu , kde a,b,c jsou z R jsou koeficienty z obecné kvadratické rovnice.

Nyní jsou možné dva případy. Buď D mensi nez 0 , pak kvadratická rovnice nemá v oboru Reálných čísel žádné řešení. Nebo D vetsi nez 0 , pak má rovnice dvě řešení (pro D=0 má jeden dvojnásobný kořen). Pro kořeny této rovnice platí: x(1,2)=... .

Příklad

Řešte rovnici s neznámou x náležící do R

Nejprve spočítáme diskriminant. Po zjištění, že je nezáporný, dosadíme do vzorce a spočítáme oba kořeny.

Řešení pomocí Viètových vzorců

Máme-li rovnici upravenou na tvar obecna kv. rovnice , pak pro kořeny rovnice (pokud existují) platí: x(1)+x(2)=-b a x(1)*x(2)=c

Tyto vztahy se nazývají Viètovými vzorci a práci s nimi si pro porovnání ukážeme na stejném příkladu, jako použití diskriminantu.

Příklad

Řešte rovnici s neznámou x náležící do R

Hledáme dvě taková čísla x(1),x(2) , která když sešteme, dostaneme číslo 5 a když je vynásobíme, získáme číslo 4.

Je vcelku snadné uhádnout, že taková čísla jsou 1 a 4.

Tedy máme oba kořeny.

Řešené příklady

Ukážeme si několik řešených příkladů a bude-li to možné, tak oběma způsoby. Sami tak můžete posoudit, který způsob je v daném případě výhodnější.

Příklad 1

Řešte rovnici s neznámou x náležící do R

Nejprve spočteme diskriminant a poté použijeme vzorec.

Příklad 2

Řešte rovnici s neznámou x náležící do R

Pro tento způsob řešení je nutné nejdříve vydělit rovnici číslem 2, abychom před kvadratickým členem měli koeficient 1.

Nyní snadno uhádneme oba kořeny (v tomto případě jeden dvojnásobný).

Nejprve rovnici vydělíme číslem 2, což sice není pro výpočet diskriminantu nezbytné, ale usnadní nám to pozdější počítání.

Nyní již spočteme kořeny pomocí diskriminantu.

Příklad 3

Řešte rovnici s neznámou x náležící do R

U této rovnice nám po vydělení číslem 2 nezůstanou všechny kořeny celočíselné. I tak lze Viètovy vzorce použít, ovšem nedá se to příliš doporučit, jelikož často jsou kořeny málo jednoduché na uhádnutí.

Dosadíme do vzorce pro diskriminant a vypočteme výsledky.

Příklad 4

Řešte rovnici s neznámou x náležící do R

Pro tento příklad se Viètovy vzorce vůbec nehodí. Koeficienty nevycházejí celočíselné a tudíž by se kořeny velmi obtížně hádaly.

Pouze se dosadí do vzorce pro diskriminant

Příklad 5

Řešte rovnici s neznámou x náležící do R

Příklad má celočíselné koeficienty a tedy vypadá, že lze touto metodou řešit. Po rozkladu však nelze kořeny uhodnout z hlavy a proto je lepší tento příklad řešit jinak.

Pouze se dosadí do vzorce pro diskriminant.

Příklad 6

Řešte rovnici s neznámou x náležící do R

Nejde přímo o řešení pomocí Viètových vzorců, spíše o logickou úvahu. Platí totiž: obecna kv. rovnice a tedy když připočteme ještě číslo 5, bude levá strana rovnice vždy kladná. Že rovnost nemůže platit ani pro zbylý interval je zžejmé. Z toho je vidět, že tato rovnice nemá v Reálných číslech žádné řešení.

Dosadíme do vzorce pro diskriminant.

Jelikož je diskriminant záporný, rovnice nemá v Reálných číslech řešení.

Příklad 7

Nalezněte všechny kvadratické rovnice s kořeny x náležící do R

Každou kvadratickou rovnici, která má dva kořeny, lze zapsat ve tvaru: x náležící do R , stačí tedy takto kořeny zapsat a pak pokud platí , máme všechny požadované kvadratické rovnice. , protože by pak nešlo o kvadratickou rovnici.

Rovnice by v obecném tvaru vypadala takto: x náležící do R .

Příklad 8

Určete, pro jaké e má rovnice x náležící do R

kořen

Pro zjištění druhého kořenu použijeme Viètovy vzorce a poté je použijeme ještě jednou pro vypočtení koeficientu e.